🔗 문제 링크

https://www.acmicpc.net/problem/1300
1300번: K번째 수
분류: 이분 탐색

✔️ 소요된 시간

1시간 30분

✨ 수도 코드

처음엔 분수찾기 문제와 비슷하다고 생각했다.

2차원 배열의 대각선 줄(i와 j가 같은 수들)을 기준으로 대각선을 그으면 항상 더 작은 숫자만 나타나니까.

그래서 이렇게 표를 그려봤는데, 내 생각이 틀렸음을 금세 알 수 있었다. 좌상향이 작은 건 맞지만, 우하향이 항상 크진 않았기에.

그 후 문제 분류가 이분 탐색임을 보게 되었고, 금세 로직을 짤 수 있었다.

위 모양처럼은 안 되지만, 어떤 수 upper보다 작은 수가 몇 개인지는 쉽게 파악할 수 있다.

위처럼, 각 행이 구구단처럼 일정하게 증가하기 때문에.

각 행의 upper이하 수의 개수는 upper / i(i는 행 번호)로 나타낼 수 있다. 예를 들어 위 사진에서, upper = 6, i = 2라면 2번째 행에 6이하 수는 6 / 2 = 3개임이 쉽게 구해진다.

이의 반례로, 이렇게 구한 수의 개수보다 N이 더 작다면 개수는 N개가 된다. 그러니 이를 코드로 나타내면

std::min(upper / i, n);

로 나타낼 수 있다.
이를 모든 행에 해주면, 전체 2차원 배열에서 upper 이하 수의 개수를 구할 수 있다.

// [n][n] 배열에서 upper 이하 수의 개수를 센다.
long countNum(long n, long upper) {
	long count = 0;

	for (long i = 1; i <= n && i <= upper; ++i) {
		count += std::min(upper / i, n);
	}

	return count;
}

for문에 2중 조건을 건 건 n과 upper 중 더 작은 값만큼만 돌리기 위해서다. i <= n을 제거해도 문제는 잘 돌아간다. 대신 0을 꽤 많이 더하게 된다.

이후 upper의 값을 이분 탐색을 통해 구하면 문제는 끝이다.

📚 전체 코드

#include <iostream>

// [n][n] 배열에서 upper 이하 수의 개수를 센다.
long countNum(long n, long upper) {
	long count = 0;

	for (long i = 1; i <= n && i <= upper; ++i) {
		count += std::min(upper / i, n);
	}

	return count;
}

int main() {
	long n, k;
	std::cin >> n >> k;

	long low = 0, high = k;
	long mid = 0;

	while (low + 1 < high) {
		mid = (low + high) / 2;
		long count = countNum(n, mid);

		if (count < k) {
			low = mid;
		}

		else if (count >= k) {
			high = mid;
		}
	}

	std::cout << high;
}

📚 새롭게 알게된 내용

태규님이 예전에 공유기 설치에서 공유해주셨던 이분 탐색 헷갈리지 않게 구현하기를 읽고난 후, 이분 탐색 구현이 매우 쉬워졌다. 논리도 깔끔하게 정리되었고.

쉬운 문제인데 상당히 시간이 오래 걸렸다. 그 부분은 바로 long low = 0, high = k; 여기였다.

처음엔 당연히, high = n * n + 1로 두었다. 이것이 최대 값이라고 생각했고, 실제로 모든 반례를 통과했다. (최댓값을 넣었을 때도 통과했다.)

그런데 45%에서 계속 틀렸습니다가 나왔고, high = k로 바꾼 후에 갑자기 성공했다.

비둘기집 원리처럼 k를 넘는 정답이 안 나오는 건 알았지만, n * n + 1로 설정했을 때 틀리는 이유를 알 수 없었다. long long으로도 넣어봤고, 분명 범위 내일텐데.

시간 초과도 아닌 틀렸습니다라서 그나마 의심가는 건 수의 범위 뿐인데... 아직도 잘 모르겠다. N의 범위는 $10^5$ 이하니 끽해봐야 10,000,000,000 정도일 텐데. 이유를 모르겠다.